Glidande Medelvärde Filter Linjär Fas

Forskaren och ingenjörens guide till digital signalbehandling av Steven W Smith, Ph D. Chapter 19 Rekursiva filter. Det finns tre typer av fasrespons att ett filter kan ha en nollfas linjär fas och en icke-linjär fas. Ett exempel på var och en av dessa visas I Figur 19-7 Som visas i a, kännetecknas nollfasfiltret av ett impulsrespons som är symmetriskt kring provnoll. Den verkliga formen spelar ingen roll för att endast de negativa numrerade proven är en spegelbild av de positiva numrerade proven. När Fouriertransformen tas från denna symmetriska vågform, fasen kommer att vara helt noll, såsom visas i b. Nackdelen med nollfasfilteret är att det kräver användning av negativa index, vilket kan vara obekvämt att arbeta med. Det linjära fasfiltret är Ett sätt runt detta Impulssvaret i d är identiskt med det som visas i a, förutom att det har skiftats för att endast använda positiva numrerade prover. Impulsresponsen är fortfarande symmetrisk mellan vänster och höger Placeringen av symmetri har dock skiftats från noll. Detta skift resulterar i fasen, e, är en rak linje som räknar med namnet linjär fas. Höjden av denna raka linje är direkt proportionell mot skiftets mängd. Eftersom skiftet i Impulssvaret ger inget annat än ett identiskt skift i utsignalen, det linjära fasfiltret är ekvivalent med nollfasfilteret för de flesta ändamål. Figur g visar ett impulsrespons som inte är symmetriskt mellan vänster och höger , Är inte en rak linje Med andra ord har den en linjär fas Don t förvirrar termen olinjär och linjär fas med begreppet systemlinjäritet som diskuteras i kapitel 5. Även om båda använder ordet linjär är de inte relaterade. Varför bry sig någon om Fasen är linjär eller ej Figurerna c, f, och jag visar svaret Dessa är pulsresponserna hos vart och ett av de tre filtren. Pulsvaret är inget mer än ett positivt steg-stegsvar Wed vid ett negativt steg response Pulssvaret används här eftersom det visar vad som händer med både stigande och fallande kanter i en signal. Här är den viktiga delen noll och linjära fasfilter har vänster och högra kanter som ser likadant ut medan olinjär fas Filter har vänster och högra kanter som ser annorlunda ut Många applikationer kan inte tolerera de vänstra och högra kanterna som ser annorlunda ut Ett exempel är visning av ett oscilloskop där denna skillnad kan misstolkas som en egenskap av signalen som mäts. Ett annat exempel är videobehandling Du föreställer dig att du slår på din TV för att hitta vänster öra av din favoritskådespelare som ser annorlunda ut än hans högra öra. Det är enkelt att göra ett FIR-finitivt impulsresponsfilter har en linjär fas. Detta beror på att impulsresponsfilterkärnan är direkt specificerad i Designprocess Att göra filterkärnan har vänster-höger symmetri är allt som krävs Detta är inte fallet med IIR-rekursiva filter, eftersom th E rekursionskoefficienter är det som anges, inte impulssvaret. Impulsresponsen hos ett rekursivt filter är inte symmetriskt mellan vänster och höger och har därför en icke-linjär fas. Analoga elektroniska kretsar har samma problem med fasresponsen. Föreställ dig en krets komponerad Av motstånd och kondensatorer som sitter på skrivbordet Om ingången alltid har varit noll, kommer utmatningen alltid alltid att vara noll. När en impuls appliceras på ingången laddas kondensatorerna snabbt till något värde och börjar sedan exponentiellt sönder genom motstånden The Impulsrespons, dvs utsignalen är en kombination av dessa olika sönderfallande exponentialer. Impulsresponsen kan inte vara symmetrisk, eftersom utsignalen var noll före impulsen och exponentiell sönderfall når aldrig helt nollvärde. Analoga filterdesigners angriper detta problem med Bessel-filter som presenteras i kapitel 3 Bessel-filtret är konstruerat för att ha så linjär fas som möjligt men det är jag S långt under utförandet av digitala filter Förmågan att tillhandahålla en exakt linjär fas är en klar fördel med digitala filter. Lyckligtvis finns det ett enkelt sätt att modifiera rekursiva filter för att erhålla en nollfas Figur 19-8 visar ett exempel på hur detta Verk Ingångssignalen som ska filtreras visas i Figur b visar signalen efter det att den har filtrerats av ett enkelspalt lågpassfilter Eftersom detta är ett icke-linjärt fasfilter, ser inte vänster och höger kanter på samma sätt som de är inverterade Versioner av varandra Som tidigare beskrivits implementeras detta rekursiva filter genom att börja vid prov 0 och arbeta mot prov 150, beräkna varje prov längs vägen. Nu antar att istället för att flytta från prov 0 mot prov 150 börjar vi vid prov 150 Och rör sig mot prov 0 Med andra ord beräknas varje prov i utsignalen från inmatnings - och utgångsprover till höger om provet som bearbetas. Detta betyder att rekursionsekvationen Eq 19-1 ändras till. Figur Ec visar resultatet av denna omvänd filtrering Detta är analogt med att man överför en analog signal via en elektronisk RC-krets medan man kör tiden bakåt, och det går inte att ge den i sig filtrerade filtret. Signalen har fortfarande vänster och högra kanter som inte ser lika ut. Magiken händer när framåt och bakåtfiltrering kombineras. Figur d resultat av att filtrera signalen i framåtriktningen och sedan filtrera igen i omvänd riktning Voila. Detta ger ett recidivt filter i nollfas Faktum är att ett rekursivt filter kan omvandlas till nollfas med denna dubbelriktad filtreringsteknik. Det enda straffet för denna förbättrade prestanda är en faktor av två i körningstid och programkomplexitet. Hur hittar du impuls - och frekvensresponserna hos det totala filtret Storleken Av frekvensresponsen är densamma för varje riktning, medan faserna är motsatta i teckenfönstret När de två riktningarna Satser kombineras, storleken blir kvadrerad medan fasen avbryts till noll. I tidsdomänen motsvarar detta att man sammanfogar det ursprungliga impulssvaret med en vänster-till-höger vänd version av sig. Till exempel impulssvaret hos en enda polig låg - Passfiltret är en ensidig exponentiell Impulsresponsen hos det motsvarande dubbelriktningsfiltret är en ensidig exponentiell som faller till höger, förknippad med en ensidig exponentiell som faller till vänster. Genom att gå igenom matematiken visar detta sig vara En dubbelsidig exponentiell som sönderdelas både till vänster och höger, med samma förfallskonstant som det ursprungliga filtret. Vissa applikationer har bara en del av signalen i datorn vid en viss tid, såsom system som växelvis matar in och utdata Fortlöpande Tvåvägsfiltrering kan användas i dessa fall genom att kombinera den med överlappningsmetoden som beskrivs i det sista kapitlet När du kommer till frågan om hur länge impulserna E-svaret är inte oändligt Om du gör det måste du padda varje signalsegment med ett oändligt antal nollor. Kom ihåg att impulsresponsen kan stympas när den har förfallit under den avrundade brusnivån, dvs cirka 15 till 20 tidskonstanter Varje segment måste polstras med nollor både på vänster och höger för att möjliggöra expansion under dubbelriktad filtrering. Signalbehandling av digitala filter. Digitala filter är i huvudsak samplade system. Ingångs - och utsignalerna representeras av prover med Lika långa avstånd. Finite Implulse Response FIR-filter kännetecknas av ett tidsrespons beroende endast på ett givet antal av de sista proven på ingångssignalen. Med andra ord när insignalen har fallit till noll, kommer filterutmatningen att göra detsamma efter en Givet antal provtagningsperioder. Utmatnings yk ges av en linjär kombination av de sista inmatningsproverna xk i. Koefficienterna bi ger vikten för kombinationen De motsvarar också koefficienten Fficients av täljaren för z-domänfiltreringsöverföringsfunktionen. Följande figur visar ett FIR-filter i ordning N 1.For linjära fasfilter är koefficientvärdenna symmetriska runt mitten och fördröjningslinjen kan vikas runt denna mitten Peka för att minska antalet multiplikationer. Överföringsfunktionen hos FIR-filter pocesses endast en täljare. Detta motsvarar ett helt nollfilter. FIR-filter kräver vanligtvis höga order, i storleken av flera hundra. Således valet av denna typ av filter Kommer att behöva en stor mängd hårdvara eller CPU Trots detta är en anledning till att välja en FIR-filterimplementering förmågan att uppnå ett linjärt fassvar, vilket kan vara ett krav i vissa fall Ändå har fiterdesignern möjlighet att välja IIR Filter med en god faslinjäritet i passbandet, såsom Bessel-filter eller att designa ett allpassfilter för att korrigera fassvaret hos ett standard IIR-filter. Flyttande medelfilter MA Ed It. Moving Average MA modeller är processmodeller i form. MA processer är en alternativ representation av FIR filters. Average Filters Edit. A filter som beräknar genomsnittet av N sista samples av en signal. Det är den enklaste formen av ett FIR filter , Med alla koefficienter lika. Överföringsfunktionen hos ett genomsnittligt filter ges av. Ett överföringsfunktion hos ett medelfilter har N lika fördelade nollor längs frekvensaxeln. Noll vid DC maskeras emellertid av polens pol. Det finns en större lob en DC som står för filterpassbandet. Cascaded Integrator-Comb CIC-filter Edit. A Cascaded integratorkamfilter CIC är en speciell teknik för att implementera genomsnittliga filter i serie. Serieplaceringen av de genomsnittliga filteren förstärker den första Lobe vid DC jämfört med alla andra lobes. Ett CIC-filter implementerar överföringsfunktionen hos N-medelfilter, var och en beräknar medelvärdet av RM-prover. Dess överföringsfunktion ges således. CIC-filter används för de Cimering av antalet prover av en signal med en faktor R eller, i andra termer, att återprov en signal vid en lägre frekvens, kasta bort R 1 prover ur R Faktorn M indikerar hur mycket av den första loben som används av Signal Antalet genomsnittliga filtersteg, N indikerar hur bra andra frekvensband dämpas, på bekostnad av en mindre platt överföringsfunktion runt DC. CIC-strukturen tillåter att implementera hela systemet med endast adderare och register, utan att använda multiplikatorer som Är giriga när det gäller hårdvara. Diksampling med en faktor R möjliggör att öka signalupplösningen med log 2 RR bitar. Kanoniska filter Edit. Canonical filters implementerar en filteröverföringsfunktion med ett antal fördröjningselement lika med filterordningen, en multiplikator Per täljare koefficient, en multiplikator per nämnare koefficient och en serie adders På liknande sätt som kanoniska strukturer för aktiva filter visade sig denna typ av kretsar att vara mycket känslig för elementvärden en liten förändring I en koefficienter hade en stor effekt på överföringsfunktionen. Här också har utformningen av aktiva filter förskjutits från kanoniska filter till andra strukturer såsom kedjor av andra ordningssektioner eller hoppfiltrets filter. Kedja av andra ordningens sektioner Edit. A second order-sektion Ofta hänvisad till som biquad implementerar en andra orderöverföringsfunktion Överföringsfunktionen hos ett filter kan delas upp i en produkt av överföringsfunktioner som var och en är associerad med ett par poler och möjligen ett par nollor. Om överföringsfunktionens order är udda, så är en första Orderavsnitt måste läggas till kedjan Denna sektion är associerad med den riktiga polen och den verkliga noll om det finns one. direct-form 1.direct-form 2.direct-form 1 transposed. direct-form 2 transposed. The Direktform 2 transponerad av följande figur är speciellt intressant när det gäller nödvändig hårdvara såväl som signal - och koefficientkvantisering. Digital Leapfrog-filter Edit. Filter Structure Edit. Digital hoppfiltrets bas på simuleringen Inspelning av analoga aktiva hoppfilters incitament. Incitamentet för detta val är att ärva från de utmärkta passbandskänslighetsegenskaperna hos den ursprungliga stegenkretsen. Följande 4: e ordning för allpolig lowpass-hoppfiltrets filter. Kan implementeras som en digital krets genom att ersätta de analoga integratorerna Med ackumulatorer. Replacering av de analoga integratorerna med ackumulatorer motsvarar att förenkla Z-transformen till z 1 s T som är de två första termerna i Taylorserien av zexps T Denna approximation är tillräckligt bra för filter där samplingsfrekvensen är mycket högre än Signalbandbredden. Transferfunktionsrediger. Statusutrymmesrepresentationen av den föregående filmen kan skrivas som. Från denna ekvationsuppsättning kan man skriva A, B, C, D matriserna. Från denna representation kan signalbehandlingsverktyg såsom oktav eller Matlab tillåter att plotta filterets frekvensrespons eller för att undersöka dess nollor och poler. I det digitala språngfiltret sätter de relativa värdena för koefficienterna s Hape av överföringsfunktionen Butterworth Chebyshev, medan deras amplitud sätter cutofffrekvensen. Dela upp alla koefficienter med en faktor två skiftar avkänningsfrekvensen med en oktav också en faktor två. Ett speciellt fall är Buterworth 3: e orderfiltret som har tid Konstanter med relativa värden på 1, 1 2 och 1 På grund av detta kan detta filter implementeras i hårdvara utan någon multiplikator, men använder skift istället. Utanvändande filter AR Edit. Autoregressive AR-modeller är processmodeller i formuläret. Var är un den Utmatning av modellen, xn är ingången till modellen och un - m är tidigare samplar av modellens utgångsvärde. Dessa filter kallas autogegressiva eftersom utgångsvärdena beräknas baserat på regressioner från tidigare utgångsvärden. AR-processer kan representeras av en All-pole filter. ARMA Filters Edit. Autoregressive Moving-Average ARMA-filter är kombinationer av AR - och MA-filter Filtrets utdata ges som en linjär kombination av både Viktad ingång och viktprov. Proverna för ARMA kan betraktas som ett digitalt IIR-filter, med både poler och nollor. AR-filter är i många fall föredragna eftersom de kan analyseras med användning av Yule-Walker-ekvationerna MA och ARMA-processer, å andra sidan Hand, kan analyseras av komplicerade olinjära ekvationer som är svåra att studera och modell. Om vi ​​har en AR-process med tryckviktskoefficienter aa vektor av an, an - 1 en ingång av xn och en utgång från yn kan vi använda yule - walker ekvationer Vi säger att x 2 är varians av ingångssignalen Vi behandlar ingångsdata signalen som en slumpmässig signal, även om det är en deterministisk signal eftersom vi inte vet vad värdet kommer att vara tills vi tar emot det. Vi kan Uttrycka Yule-Walker-ekvationerna som. Var R är korskorrelationsmatrisen i processutmatningen. Och r är autokorrelationsmatrisen för processutgången. Varians Edit. We kan visa att. Vi kan uttrycka ingångssignalvarianen som. Or , Expandera och ersätta i För r 0 kan vi relatera processvariansvariationen till ingångsvarianen. FIR-filter, IIR-filter och den linjära konstant-koefficientskillnadsekvationen. Kausala rörliga medelvärdet FIR-filter. Vi diskuterade system där varje prov av utmatningen är En vägd summa av vissa av proverna av ingången. Låt oss ta ett kausalt vägt sumssystem där kausal betyder att ett givet utmatningsprov bara beror på det aktuella ingångsprovet och andra ingångar tidigare i sekvensen Varken linjära system i allmänhet, Orsakar ändamål är att orsakssambandet är lämpligt för en slags analys som vi snart kommer att undersöka. Om vi ​​symboliserar ingångarna som värden för en vektor x och utgångarna som motsvarande värden för en vektor Y då kan ett sådant system skrivas som. Där b-värdena är vikter applicerade på nuvarande och tidigare insamlingsprover för att få det aktuella utgångsprovet Vi kan tänka på uttrycket som en ekvation med lika tecken Meningen är lika med eller som en procedurinstruktion, med samma signaturbetydelse. Låt s skriva uttrycket för varje utsignal som en MATLAB-slinga av tilldelningsuppsättningar, där x är en N-längdsvektor av ingångsprover och b är en M - längd vektorgradsvikt För att hantera specialfallet i början lägger vi in ​​x i en längre vektor xhat vars första M-1-prov är noll. Vi ska skriva den viktade summeringen för varje yn som en inre produkt, och Kommer att göra vissa manipuleringar av ingångarna som att reversera b till detta ändamål. Denna typ av system kallas ofta ett glidande medelfilter av uppenbara skäl. Från våra tidigare diskussioner bör det vara uppenbart att ett sådant system är linjärt och skift-invariant Naturligtvis skulle det vara mycket snabbare att använda MATLAB convolution-funktionen conv i stället för vår mafilt. I stället för att överväga de första M-1-proverna av ingången att vara noll, kan vi betrakta dem som de senaste M-1 Prover Detta är detsamma som att behandla inmatningen som Periodisk Vi använder cmafilt som funktionens namn, en liten ändring av den tidigare mafiltfunktionen. Vid bestämning av ett systems impulsrespons är det vanligen ingen skillnad mellan dessa två eftersom alla icke-inledande prover av ingången är noll. Eftersom ett system av detta slag är linjärt och skift-invariant vet vi att dess effekt på vilken sinusoid som helst kommer att bara skala och flytta den. Här är det viktigt att vi använder den cirkulära versionen. Den cirkulärkonvolverade versionen skiftas och skalas lite , Medan versionen med vanlig konvolvering förvrängs vid början. Låt oss se vad exakt skalering och skiftning är med hjälp av en fft. Både ingång och utgång har endast amplituden vid frekvenserna 1 och -1, vilket är som det borde ges Att ingången var en sinusoid och systemet var linjärt. Utgångsvärdena är större med ett förhållande av 10 6251 8 1 3281 Detta är förstärkningen av systemet. Vad gäller fasen Vi behöver bara se var amplituden är noll. Ingången har en fas av pi 2, som vi re Quested Utgångsfasen skiftas med ytterligare 1 0594 med motsatt tecken på den negativa frekvensen eller omkring 1 6 av en cykel till höger, som vi kan se på grafen. Nu ska vi försöka en sinusoid med samma frekvens 1, Men istället för amplitud 1 och fas pi 2, låt s försöka amplitud 1 5 och fas 0.Vi vet att endast frekvens 1 och -1 kommer att ha icke-noll amplitud, så låt oss bara titta på dem. Ge amplitudförhållandet 15 9377 12 0000 är 1 3281 - och för fas. it skiftas igen med 1 0594. Om dessa exempel är typiska kan vi förutse effekten av vårt system impulsrespons 1 2 3 4 5 på vilken sinusoid som helst med frekvens 1 - Amplituden ökas med en faktor 1 3281 och den positiva frekvensfasen kommer att flyttas med 1 0594. Vi kunde fortsätta att beräkna effekten av detta system på sinusoider av andra frekvenser med samma metoder men det finns ett mycket enklare sätt , Och en som fastställer den allmänna punkten Eftersom cirkulär konvolvering i tidsdomänen betyder multiplication N i frekvensdomänen följer from. it det med andra ord. DFT av impulssvaret är förhållandet mellan DFT-utgången och DFT-ingången i ingången. I detta förhållande är DFT-koefficienterna komplexa. Eftersom abs C1 c2 abs c1 abs c2 för alla komplexa tal c1, c2, berättar denna ekvation oss att impulsresponsens amplitudspektrum alltid är förhållandet mellan utgångens amplitudspektrum och ingångens. I fallet med fasen Spektrum, vinkel c1 c2 vinkel c1 - vinkel c2 för alla c1, c2 med det förbehållet att faser som skiljer sig med n 2 pi anses lika. Därför är fasspektrumet för impulsresponset alltid skillnaden mellan utgångssekvensens fasspektra och Inmatning med vad som helst korrigeringar med 2 pi behövs för att hålla resultatet mellan - pi och pi. Vi kan se fasegenskaperna tydligare om vi avvecklar representationen av fas, dvs om vi lägger till flera multiplar av 2 pi som behövs för att minimera hoppen Som produceras av peri Vinkelfunktionens odiska natur. Även om amplituden och fasen vanligtvis används för grafisk och jämn tabulär presentation, eftersom de är ett intuitivt sätt att tänka på effekterna av ett system på de olika frekvenskomponenterna för dess ingång, är de komplexa Fourier-koefficienterna Mer användbar algebraiskt eftersom de tillåter det enkla uttrycket av förhållandet. Den allmänna inställningen som vi just har sett kommer att fungera med godtyckliga filter av den skissade typen, där varje utmatningsprov är en viktad summa av en uppsättning ingångsprover. Som tidigare nämnts , Dessa kallas ofta Finite Impulse Response-filter, eftersom impulssvaret är av finitstorlek eller ibland rörliga medelfilter. Vi kan bestämma frekvensresponsegenskaperna för ett sådant filter från FFT av dess impulsrespons, och vi kan också designa nytt Filtrar med önskade egenskaper av IFFT från en specifikation av frekvensresponsen. Utöverskridande IIR-filter. Det skulle vara liten punkt att ha Namn för FIR-filter om det inte fanns några andra slag s att skilja dem från och så de som har studerat pragmatik kommer inte att förvåna sig för att lära sig att det faktiskt finns en annan stor typ av linjärt tidsinvarianskt filter. Dessa filter kallas ibland rekursiva eftersom Värdet av tidigare utdata liksom tidigare ingångar är viktiga, även om algoritmerna generellt skrivs med hjälp av iterativa konstruktioner. De kallas också Infinite Impulse Response IIR-filter, eftersom deras svar på impulser i allmänhet fortsätter för alltid. De kallas även ibland autoregressiva filter, Eftersom koefficienterna kan betraktas som ett resultat av att göra linjär regression för att uttrycka signalvärden som en funktion av tidigare signalvärden. Förhållandet mellan FIR och IIR-filter kan ses tydligt i en linjär konstant-koefficientskillnadsekvation, dvs En vägd summa av utgångar som är lika med en viktad summa av ingångar Detta är som ekvationen som vi gav tidigare för kausal FIR Filter, förutom att förutom den viktade summan av ingångar, har vi också en viktad summa av outputs. If vi vill tänka på detta som ett förfarande för att generera outputprover, måste vi omordna ekvationen för att få ett uttryck för den nuvarande Utmatningsprov y n. Adoptera konventionen att en 1 1 t. ex. genom att skala andra as och bs, kan vi bli av med 1 a 1 term. ynb 1 xnb 2 x n-1 b Nb 1 x n-nb - en 2 y N-1 - - en Na 1 y n-na. Om alla andra än 1 är noll reduceras detta till vår gamla vän, det kausal FIR-filtret. Detta är det allmänna fallet med ett orsakssamband LTI-filter och implementeras av MATLAB-funktionsfiltret. Låt oss se på fallet där b-koefficienterna andra än b 1 är noll istället för FIR-fallet, där a är noll. I detta fall beräknas det aktuella utgångsprovet yn som en vägd kombination av Nuvarande inmatningssammanställning xn och de tidigare utgångsproverna y n-1, y n-2 osv. För att få en uppfattning om vad som händer med sådana filter, låt oss börja med fallet där. That Är det aktuella utgångsprovet summan av det aktuella ingångsprovet och hälften av det föregående utgångsprovet. Vi ska ta en inmatningsimpuls genom några steg, en åt gången. Det ska vara klart vid den här tiden att vi lätt kan skriva Ett uttryck för det nth utmatningsprovvärdet är det bara. Om MATLAB räknat från 0 skulle det vara helt enkelt 5 n. Eftersom det vi beräknar är systemets impulsrespons, har vi visat att ett exempel på impulssvaret kan ha oändligt många icke-nollprover. För att genomföra denna triviala första - filter i MATLAB, vi kan använda filter Samtalet kommer att se ut så här. och resultatet är. Är denna verksamhet verkligen fortfarande linjär. Vi kan titta på detta empiriskt. För en mer allmän inställning, överväga värdet av ett utgångsprov y N. By successiv substitution kan vi skriva detta som. Detta är precis som vår gamla vän, convolution-sum form av ett FIR-filter, med impulsresponsen som tillhandahålls av uttrycket 5k och längden av impulsresponsen är oändlig Således samma Argument som vi brukade visa att FIR-filter var linjära kommer nu att tillämpas här. Så länge kan det tyckas som mycket väsen om inte mycket Vad är denna hela undersökningsskala bra för. Vi ska svara på denna fråga i steg, som börjar med en Exempel. Det är inte en Stor överraskning att vi kan beräkna en samplad exponentiell genom rekursiv multiplikation Låt oss titta på ett rekursivt filter som gör något mindre uppenbart Den här gången kommer vi att göra det till ett andra orderfilter så att samtalet till filtret kommer att vara av formen. Ställa in den andra utmatningskoefficienten a2 till -2 cos 2pi 40 och den tredje utgångskoefficienten a3 till 1 och titta på impulsresponset. Inte mycket användbart som ett filter, men det genererar en samplad sinusvåg från en impuls Med tre multiplicera tillägg per prov För att förstå hur och varför det gör det, och hur rekursiva filter kan utformas och analyseras i det mer allmänna fallet, måste vi gå tillbaka och titta på några andra egenskaper hos komplexa tal, På väg att förstå z-transformen.